Nel novembre 2002 pubblicò, sul sito Web arXiv, il primo di una serie di scritti con i quali intendeva dimostrare la congettura di geometrizzazione di Thurston, risultato che comprende, come caso particolare, la congettura di Poincaré. Quest'ultima, proposta dal matematico francese Henri Poincaré nel 1904, era uno dei più famosi problemi irrisolti di topologia. Molti matematici ne avevano tentato la dimostrazione, senza successo, e il Clay Mathematics Institute aveva promesso una ricompensa da un milione di dollari per chi fosse stato in grado di fornirne una dimostrazione. La strategia d'attacco di Perel'man consistette nel modificare il programma di geometrizzazione di Richard Hamilton attraverso il flusso di Ricci. L'approccio di geometrizzazione di Hamilton era particolarmente innovativo rispetto ai precedenti programmi più diretti, che erano di stampo topologico, in particolare gli approcci di W.P. Thurston, J.W. Cannon e D. Gabai.

Nel dicembre 2005 il lavoro di Perel'man fu esaminato dalla comunità matematica, dopo una serie di sue conferenze in importanti atenei, in cui fornì spiegazioni su parti della dimostrazione che erano state pubblicate su arXiv. Nell'agosto del 2006 i numerosi matematici che seguirono e controllarono il suo lavoro completarono una documentazione di oltre mille pagine, in cui si spiegava passo per passo la dimostrazione completa della congettura di Poincaré. Tale lavoro esplicativo è stato assolutamente necessario, dato il sistema abituale di lavoro di Perel'man, in cui il prodotto finale è da lui considerato concluso e presentabile solo se raggiunge un livello di concisione estrema, unita all'adeguata perfezione formale. I lavori di Perel'man sono concettualmente inattaccabili, ma il suo metodo di esposizione li rende estremamente difficili da comprendere per altri matematici senza una sorta di guida esplicativa.